Entropija, verovatnoća i sve oko nas
Photo:Behance
Kad smo otpočinjali ovaj novi vek i milenijum, oko 2001. godine, među brojnim anketama „Ko je najveći XYZ?“ ili „Šta je najveće ABC?“ bila je i jedna u kojoj se pitalo za najvažniju fizičku formulu. Kao što se i moglo očekivati, pobedila je Ajnštajnova formula o pretvaranju mase u energiju (ili obratno) E = mc2, koja je na izvestan način inaugurisala novo, nuklearno doba, plus je ogromna i potpuno zaslužena popularnost Ajnštajnove ličnosti doprinela da svi njegovi rezultati dobiju znatno širu javnu pažnju.
Naravno, Ajnštajnova formula je daleko od trivijalne, i svakako predstavlja jedan od najvećih trijumfa ljudskog duha. Ekvivalentnost materije i energije – koja se u krugovima naprednih teoretičara često dodatno naglašava tako što se koristi sistem jedinica u kojem je brzina svetlosti jednaka jedinici, pa formula postaje jednostavno E = m – jeste okosnica ne samo fundamentalne fizike, već i velikog dela drugih nauka, poput nuklearne hemije, astrofizike, kosmologije, ali i, recimo, potrage za vanzemaljskom inteligencijom. Međutim, moj glas za najvažniju formulu u fizici odlazi Bolcmanovoj formuli koja izražava vezu entropije i statističke težine i glasi prosto:
S = k ln W.
Ovde je S entropija stanja nekog fizičkog sistema koji posmatramo, i to upravo stanja koje među svim mogućim stanjima tog sistema ima statističku težinu W. Entropija se uobičajeno smatra merom neuređenosti stanja sistema. Statistička težina se nekad označava i velikim grčkim slovom omega, dakle Ω, a ponekad se naziva i „termodinamičkom verovatnoćom“.
Potonji naziv se zadržao iz istorijskih razloga iako je prilično nesrećan, jer je statistička težina uvek pozitivan broj veći od 1, dok svi znamo sa prilično elementarnih časova matematike da je prava verovatnoća uvek između 0 i 1; ovo, naravno, znači da je logaritam svake prave verovatnoće nužno negativan, s obzirom na oblik logaritamske funkcije koja je negativne za brojeve između 0 i 1, a pozitivna za brojeve veće od 1 bez obzira na osnovu.
Takođe u gornjoj formuli, ln je standardna oznaka za prirodni logaritam, dakle logaritam sa osnovom e = 2,7182818… Naravno, lako je preći sa prirodnog na bilo koji drugi logaritam, uključujući dekadni (log10) ili binarni (lg = log2), tako što će se izraz podeliti sa konstantom koja predstavlja dekadni ili binarni logaritam samog broja e. Svi logaritmi su ekvivalentni jedan drugom „do na konstantu koja ih množi/multiplikativnu konstantu“, što bi rekli matematičari.
Naravno, konstanta proporcionalnosti k, koja se ponekad iz očiglednih razloga označava i sa kB, nosi naziv Bolcmanova konstanta i ima vrednost koja je definisana kao tačno 1.380649 × 10−23 J/K. Ona dakle ima iste dimenzije kao i sama entropija; u sistemu jedinica u kojem bi bilo k = 1, entropija bi bila bezdimenzionalni broj, odnosno bila bi data u jedinicama Bolcmanove konstante, na isti način na koji su u sistemu jedinica u kojem je c = 1 sve brzine date u jedinicama brzine svetlosti.
Bolcmanova konstanta je verovatno najmanje poznata i najslabije shvaćena od svih temeljnih („fundamentalnih“) konstanti prirode, ključnih veličina kao što su mase kvarkova i leptona, brzina svetlosti u vakuumu ili Plankova konstanta. Ako treba da odgovorimo na pitanje zašto naš svet izgleda ovako kako izgleda, najbolji kratak odgovor bio bi: zato što fundamentalne konstante imaju vrednosti koje imaju. Među njima, Bolcmanova konstanta igra posebnu ulogu zato što ona igra ulogu mosta koji povezuje mikroskopski svet atoma i makroskopski svet objekata i sistema koji vidimo oko nas, mikro- i makrosvet.
Činjenica da ona ima, u uobičajenim jedinicama kakve su SI ili cgs jedinice, toliko malu vrednost nam jednostavno govori da su atomi i molekuli – veoma mali! U poređenju sa čim? neko bi se mogao upitati. Odgovor glasi: u poređenju sa nama i svetom svakodnevnih objekata oko nas koji upravo i jeste taj makroskopski svet o kojem govorimo.
Način na koji je makrosvet izgrađen od ciglica mikrosveta vidi se upravo kroz gore navedenu formulu. Veliki austrijski fizičar, Ludvig Bolcman, je do ove formule došao oko 1875. godine, mada je način na koji je danas pišemo novijeg datuma. (Prvi čovek koji ju je napisao u savremenom obliku bio je praotac kvantne fizike, Maks Plank.) Njen ključni značaj prepoznat je još za Bolcmanovog života, u 19. veku – između ostalog, to se ogleda i u činjenici da je urezana na Bolcmanovoj nadgrobnoj ploči u Beču. (Tamo je zapisana korišćenjem uopštenog izraza „log“ za prirodni logaritam.)
Kako da razumemo Bolcmanovu formulu? Od doslovno stotina načina na koji se ona manifestuje u našem svakodnevnom životu, verovatno najopštiji je onaj koji nazivamo strelom vremena.
Gotovo sve pojave koje opažamo oko nas su nepovratne, ireverzibilne, odvijaju se samo u jednom vremenskom smeru. Kiša pada na tle i apsorbuje se u vlažnoj zemlji, pretvarajući svoju energiju kretanja u toplotu; nikada ne viđamo obrnuti proces, da vlaga u zemlji pretvori toplotnu energiju u energiju kretanja i poleti u vidu roja kapljica naviše. Kockica leda se topi u piću, a iz mlakog pića se nikada neće kondenzovati led, ma koliko dugo čekali. Da one poslovične primere ireverzibilnosti, poput vraćanja paste za zube u tubu, ili pravljenja riblje čorbe od akvarijuma, koje je apostrofirao najznačajniji (jedini?) srpski državnik poslednjih stotinak godina ne pominjemo.
Toplota, kaže Drugi zakon termodinamike o kojem je trebalo da smo učili na časovima fizike (ali verovatno nismo, zbog bednog stanja srpskog nastavnog programa iz ove nauke i još gore realizacije tog programa), uvek prelazi sa tela više temperature na telo niže temperature, nikada u obrnutom smeru. Čak i u kolokvijalnim tvrdnjama tipa „haos se širi“, „sve stari i propada“, kao i u realnosti starenja i smrti svakog od nas vidimo manje ili više metaforične prikaze iste temeljne pojave.
I gle čuda – objašnjenje svih ovih bezbrojnih nepovratnosti u svetu oko nas leži u Bolcmanovoj jednostavnoj formuli. Sa u suštini 5 simbola (!), Bolcmanova formula nam daje objašnjenje svih promena, dinamičkih i evolucionih procesa od Velikog praska do danas, i omogućuje nam da predvidimo pojave koje će se desiti u dalekoj budućnosti, poput ulaska Sunca u fazu crvenog džina i docnijeg kolapsa u oblik belog patuljka. Bolcmanova formula nam govori da je sve to, u suštini, posledica najočekivanije moguće promene: težnje svakog sistema da bude u stanjima sve veće i veće verovatnoće.
Stanje najveće verovatnoće je ono koje ima i najveću entropiju (jer je logaritam monotono rastuća funkcija). Ovo stanje naziva se stanjem termodinamičke ravnoteže kad su u pitanju termodinamički sistemi, ali se može i uopšteno nazvati samo stanjem ravnoteže. Stanje ravnoteže se može smatrati i najverovatnijim, ali i najtipičnijim stanjem, kao i onim koje je najviše haotično ili najviše slučajno. Entropija uvek raste zato što je, gotovo po definiciji, najverovatnije da će sistem postajati sve tipičniji sa vremenom. Kad kažemo da svaki sistem prepušten sam sebi – ili „izolovan“ – teži da dostigne stanje ravnoteže i ostane u njemu, mi smo zapravo prepričali glavnu posledicu Bolcmanovog genijalnog uvida i genijalne formule kojom se on izražava.
I više od toga: Bolcmanova formula ne samo što nam daje most između mikro- i makrosveta, ona nam pruža i most između fizike u uobičajenom uskom, školskom smislu, i ogromnih matematičkih domena verovatnoće, kombinatorike, logike, pa i primenjene matematike, odnosno računarstva. Statistička težina, odnosno „verovatnoća“ W u formuli je zapravo matematički, kombinatorički i statistički pojam. Uočite kakve posledice ima, dakle, Bolcmanova formula: ključna fizička veličina, entropija, logaritamski je srazmerna jednoj matematičkoj veličini. Upravo zato je Bolcmanova formula i afirmacija dominantne uloge koju statistika igra u svemu što se sastoji od atoma – odnosno baš u svemu oko nas! Takođe, ona igra temeljnu ulogu u fizici računanja, disciplini koju su zasnovali velikani računarstva poput Tjuringa, fon Nojmana, Šenona i Landauera, a koja leži u temeljima savremenog shvatanja svih oblasti koje se bave numeričkim modelima stvarnosti, od kosmologije do ekonomije.
*Stavovi izraženi u kolumnama predstavljaju isključivo lične stavove autora, a ne stavove uredništva Talasa.
Naučni savetnik Astronomske opservatorije u Beogradu