Precenjenost zdravog razuma: 100 godina Banah-Tarski „paradoksa“
Photo by Kasia Derenda on Unsplash
Svakom ko se iole razume u savremenu nauku jasno je da je ono što uobičajeno nazivamo zdravim razumom značajno precenjeno. Pojave koje su direktno suprotne tom uzgrednom proizvodu evolucije hominina okosnica su našeg razumevanja prirode: kvantna superpozicija i kvantna spletenost, horizonti događaja i singularnosti crnih rupa, Veliki prasak i Saturnov crnobeli satelit Japet, dvodimenzionalni materijali i spinska stakla koja preokreću strelu vremena, pa čak i na prvi pogled svakodnevne i “obične” pojave kao što su ključanje vode za kafu ili iritantno kapanje iz zatvorene slavine. Sve to su stvari koje danas razumemo ne zahvaljujući, nego bukvalno nasuprot precenjenom „zdravom razumu“. Pomaže da razumemo kako je potonji pre svega antropocentrični konstrukt izveden iz ljudskog sićušnog prostorvremenskog i fenomenološkog iskustva.
U današnjem svetu se, nažalost, jednostavna činjenica da se na eksperimentu i logici zasnovana nauka često sukobljava sa zdravim razumom, zloupotrebljava da bi se bacila senka na samu nauku. (Umesto da se, što bi bilo jedino ispravno, da se ispoljava kao zdravi skepticizam prema „zdravom razumu“ i svima „očiglednim” istinama.) Nauci kao takvoj to neće previše naškoditi, ali društvu u kojem je rejting nauke nizak – i opada – itekako hoće.
Nigde se ta vrsta patologije ne ispoljava očiglednije nego u medijskoj sferi. Radi idiotskog skupljanja „klikova“, portali danas postavljaju najbizarnije naslove na svoje ne(s)vesti i lažne vesti; jedna od čuvenih floskula sa kojom se razumni ljudi opravdano sprdaju je „da se smrzneš“. Ma koliko sama frazetina bila izlizana, svaki ljubitelj matematike verovatno zna za bar jedan slučaj nekog matematičkog rezultata koji zaista proizvodi takav osećaj ili nešto njemu najbliže.
Za autora ovog teksta, taj rezultat je teorema Banaha i Tarskog koja ove 2024. godine proslavlja tačno 100 godina od objavljivanja. Ona na najubedljiviji način pokazuje koliko je zastrašujuće velika provalija, ponor, kanjon koji razdvaja slabašnu ljudsku prirodu od neumoljive, neprobojne, kristalno jasne logičke strukture koja leži u temeljima svekolike istine. Ona je spomenik i to puškinovski, „što nije rukom tvoren“, beskonačnoj moći racionalnog, logičkog mišljenja – i utoliko pre je šteta, pa i tužno, što nije daleko šire poznata i van topoloških krugova. Ovaj tekst je tek mali pokušaj da se ova šteta popravi.
Istaknuti poljski matematičari Stefan Banah (1892-1945) i Alfred Tarski (1901-1983) bili su predstavnici one briljantne škole poljskih matematičara i logičara kojoj su pripadala i imena kakva su Lukaševič, Mandelbrot, Štajnhaus, Lešnievski, Sierpinski i mnogi drugi velikani, ne nužno ograničeni na matematiku i logiku. Najrazličitije i najdinamičnije oblasti moderne nauke, od fraktalne kosmologije do veštačke inteligencije nalaze svoje intelektualne korene u starinskim salonima, učionicama i bibliotekama Varšave i Krakova.
Možemo samo da maštamo koliko bi, da su istorijske okolnosti bile manje nemilosrdne i da se Poljska nije našla uklještena između dva monstruozna totalitarna zla sa istoka i sa zapada, poljska nauka i kultura napredovale i u kojoj meri bi se poljski jezik učio u školama (posebno školama prirodnih nauka i računarstva).
I Banah i Tarski dali su ogromne doprinose nauci. Banahovi prostori su jedna od najvažnijih matematičkih struktura ikada uvedenih, ali to je tek početak; pogledati samo masivni spisak stvari nazvanih po njemu. Da nije prerano preminuo 1945. godine u Lvivu od raka pluća, nakon veoma teških ratnih godina u kojima je izbegao smrt u konc-logoru tako što je doslovce bio “laboratorijski pacov” za eksperimente sa vakcinom protiv tifusa, moguće je da bi njegovi rezultati nadmašili slavne savremenike poput Hilberta, Vejla ili fon Nojmana.
Nasuprot Banahovoj tužnoj sudbini, njegov koautor Alfred Tarski imao je dugačku i plodnu karijeru u SAD, napustivši Poljsku krajem avgusta 1939. godine doslovce poslednjim brodom koji je isplovio pre mučkog nemačko-sovjetskog napada i izbijanja Drugog svetskog rata. Od 1942. godine pa sve do smrti radio je na Kalifornijskom univerzitetu u Berkliju, značajno doprinevši prestižu ove – pre njegovog doba relativno osrednje – akademske institucije. Tarski je najpoznatiji kao tvorac semantičke teorije istine, koja je jedna od najznačajnijih teorija na tromeđi filozofije, matematike i lingvistike, kao i autor čitavog niza spektakularnih rezultata poput teoreme o fiksnoj tački ili nove aksiomatizacije klasične euklidske geometrije.
Rad Banaha i Tarskog iz 1924., objavljen na francuskom – kako je i bio red u to doba, kad je francuski bio dominantni jezik matematike, čak i pre formiranja grupe Burbaki – pod jednostavnim naslovom Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, odnosno „O rastavljanju skupova tačaka na respektivno podudarne delove“ pojavio se u časopisu Temelji matematike (Fundamenta Mathematicae), koji je osnovan u Varšavi 1920. godine, a izlazi i dalje, kao jedno od najstarijih specijalizovanih matematičkih glasila.
Naslov je varljivo skroman naspram šokantne prirode rezultata. Zamislimo loptu proizvoljne veličine, recimo poput košarkaške lopte. Teorema koju su dva poljska velikana dokazali utvrđuje da je moguće izvršiti duplikaciju lopte, tako što će se početna lopta podeliti na konačan broj delova – od kojih je zatim moguće prostim pomeranjem i rotacijom u prostoru sastaviti dve identične lopte iste veličine kao početna! Ima li šta bizarnije? Naravno, ako jednom sastavite dve lopte, onda možete ponoviti postupak proizvoljno mnogo puta; od jedne lopte dakle možete napraviti 4, 8 i uopšte bilo koji broj – trilion ili 10100 – identičnih lopti.
Što bi rekao genijalni Ričard Bakminster Fuler, i nemoguće se dešava.
Dokaz ove neshvatljive, uznemirujuće i super-neintuitivne teoreme počiva na korišćenju aksioma izbora, najvažnijeg proširenja standardne aksiomatike teorije skupova. Na prvi pogled, ništa nije prirodnije od prihvatanja ove tvrdnje koja, matematičkim rečnikom, glasi: za svaku familiju nepraznih disjunktnih skupova F, postoji skup koji sadrži tačno jedan element iz svakog skupa date familije F. U terminima svakodnevnog života, ovo je prilično očigledna tvrdnja: uvek je moguće sastaviti podskup stanara neke zgrade tako što će se iz svakog stana u kojem neko živi („nepraznih disjunktnih“) izabrati po jedan stanar. Isto je moguće učiniti sa svakog sprata ili iz svakog krila zgrade, itd. sasvim svejedno. Uvek možete dobiti podskup automobila sa sajma četvorotočkaša tako što ćete od svakog brenda izabrati po jedan, itd. isl.
U čudesnoj matematičkoj poemi Banaha i Tarskog, aksiom izbora nam garantuje da takva vrsta podele lopte postoji – i može sugerisati iz koliko se delova sastoji – ali ne i kako tačno ti delovi izgledaju. Dokaz je nekonstruktivni dokaz egzistencije koji obezbeđuje da takva podela postoji, ali nam ne govori ništa o tome kako da tražene delove konstruišemo. Štaviše, znamo da su u pitanju tzv. nemerljivi skupovi, za koje između ostalog veličine poput zapremine ili površine nisu ni definisane. Upravo je aksiom izbora ono što omogućuje da se u ZFC aksiomatici teorije skupova (dakle Zermelo-Fraenkelov sistem aksioma plus C, od engl. Choice, kao oznaka za aksiom izbora) izvedu nekonstruktivni dokazi kakav je ovaj.
(Uzgred, aksiom izbora bio je 1996. godine citiran u legendarnoj sprdnji njujorškog fizičara Alena Sokala poznatoj i kao Sokalova podvala, tekstu koji obiluje postmodernističkim besmislicama izvedenim iz, nažalost sasvim autentičnih, citata lažnih intelektualnih veličina druge polovine 20. veka. Sokal je, koristeći postmodernistima drage igre reči, doveo u vezu axiom of choice) sa feminističkim insistiranjem na izboru (choice), odnosno pravu na abortus. Nažalost, ova klasična satira na račun besmisla postmodernizma i socijalnog konstruktivizma nije imala dovoljno odjeka, a čak ni ponovljene slične akcije poput „Sokala na kvadrat“ koji su izveli Džejms Lindzi, Helen Plakrouz i Piter Bogosijan nisu imale dovoljno snažno profilaktičko dejstvo. Posledice danas vidimo svuda oko nas.)
Neko bi pomislio da se, s obzirom na nekonstruktivnost dokaza, mora raditi o nekom ogromnom – iako konačnom – broju delova na koji se lopta mora rastaviti. Ako bismo imali posla sa, recimo, 1050 delova, jasno je da bi izvođenje konstrukcije bilo dodatno problematično. Međutim, čak i tu nas „zdrav razum“ potpuno vara: kao što je 1947. godine dokazao američki matematičar Rafael Robinson, paradoksalno rastavljanje se može obaviti na svega pet delova! Kasnije su velikani matematike koji su se ovom oblašću topologije bavili, od fon Nojmana do Terensa Taoa, dali još čitav niz zanimljivih rezultata, kao što je recimo da se, ako dozvolimo prebrojivo mnogo delova, sastavljanje dve lopte od jedne može izvršiti i samo translacijama, bez potrebe za rotacijama.
Vredi uočiti da je teorema Banaha i Tarskog velikim delom analogna drugom slavnom „paradoksu“ koji se odnosi na matematičku beskonačnost, naime Hilbertovom hotelu sa beskonačno mnogo soba. Kao što znamo iz brojnih pop-kulturnih prikaza, uključujući dela Stanislava Lema, ako imamo hotel sa beskonačno mnogo soba, u njemu se uvek može naći mesta za nove goste, bez obzira da li ih ima konačno ili beskonačno mnogo. Ukoliko ih dođe konačno mnogo, recimo 137, tada se jednostavno gosti iz soba sa brojevima od 1 do 137 presele u sobe sa brojevima 138 – 274, oni koji su prethodno bili tamo presele se u naredni skup od 137 soba (sa brojevima 275 do 411), itd.
Na ovaj način je prvih 137 soba oslobođeno i u njih se mogu smestiti novi gosti. Ukoliko dođe beskonačno mnogo novih gostiju, jednostavno se isprazne sobe sa neparnim brojevima tako što će se svaki gost iz sobe sa brojem k preseliti u sobu sa brojem 2k, te će na taj način neparne sobe ostati prazne. S obzirom da neparnih brojeva ima podjednako beskonačno mnogo (!) kao i svih prirodnih brojeva, menadžment Hilbertovog hotela nikad ne može imati problem sa navalom gostiju i uvek ima slobodnih mesta.
Iako ovo deluje neintuitivno, svejedno je daleko lakše prihvatiti od teoreme Banaha i Tarskog. Razlog za to jeste što se Hilbertova parabola o hotelu bavi prebrojivom beskonačnošću, kao što je beskonačnost prirodnih brojeva i svaka druga koja se može dovesti u 1:1 preslikavanje sa prirodnim brojevima. Sve što se može numerisati, označiti brojevima 1, 2, 3, … je prebrojiv skup, makar bio i beskonačan. Međutim, skup tačaka na pravoj ili tačaka u bilo kom geometrijskom telu, kao što je lopta, je neprebrojivo beskonačan skup. Neprebrojiva beskonačnost je veća od prebrojive beskonačnosti – i to mnogo, mnogo, mnogo veća! Bez obzira što ova tvrdnja može delovati izuzetno čudno, nju je formalno dokazao još Kantor u 19. veku i savremena matematika je prihvata bez mnogo čuđenja. Jedan od načina na koji se ta provalija između prebrojivih i neprebrojivih skupova ispoljava je upravo bizarnost rezultata Banaha i Tarskog.
Ovo ima daleko šire i dublje posledice. Zadivljujuća činjenica da tako očigledna i, ahem, zdravorazumska tvrdnja kakva je aksiom izbora dovodi do u toj meri dramatične, neshvatljive i anti-zdravorazumske situacije u kojoj od zrna graška možemo samo pomeranjem i rotiranjem sastaviti loptu graška veću od galaksije nas navodi na razmišljanje o razlikama između platonskog (ili tegmarkovskog!) sveta matematičkih struktura i „stvarnog“ sveta fizičkih fenomena. Iako su ljudi od Ajnštajna i Vignera naovamo lomili glave nad pitanjem o neočekivanoj efikasnosti matematike u prirodnim naukama, vrlo je moguće da je problem zapravo suprotan i da je pravo pitanje kako uopšte uspevamo da sagledamo bilo koji delić sveta matematike, s obzirom koliko je on veći i kompleksniji od pukog fizičkog sveta naše iskustvene stvarnosti? Kao što je uočio još ko-otkrivač biološke evolucije, Alfred Rasel Valas, ljudsko saznanje je evoluiralo da sačuva naše pretke od medveda, sabljozubog tigra i otrovnih bobica; uživanje u muzici ili razumevanje apstraktne matematike (ma koliko malo i nepotpuno bilo) su uzgredni – i za sad neobjašnjeni – dodaci.
Sve u svemu, teorema Banaha i Tarskog jedan je od veličanstvenih rezultata moderne nauke koji na nezaboravan način demonstrira u kojoj meri je ljudsko saznanje istovremeno i moćno i varljivo. Moćno, zato što su dvojica ljudi koristeći ljudsku (evoluiranu) inteligenciju zaronila u okean neznanja i iz njega izvukli delić čudesnog blaga. Varljivo, zato što pokazuje koliko su naša intuicija i tzv. zdrav razum nepouzdani i slabašni naspram veličine i dubine tog okeana. U večitoj dilemi između do pola pune i do pola prazne čaše, svako za sebe mora pronaći ravnotežu. Nesporno je, međutim, koliko se istinski bogatiji osećamo kada smo svesni postignuća dvojice Poljaka od pre tačno jednog veka. Kao što reče Sokrat (mada se ova izreka pripisuje i mnogima drugima), nema većeg bogatstva od znanja, nema goreg siromaštva od neznanja. Oni koji ovu duboku istinu odbacuju kao puku metaforu ili se svesno opredeljuju za siromaštvo čine to samo na sopstvenu nečast i štetu.
*Stavovi izraženi u kolumnama predstavljaju isključivo lične stavove autora, a ne stavove uredništva Talasa.
Naučni savetnik Astronomske opservatorije u Beogradu